Critérios de divisibilidade

 "Para entender os critérios de divisibilidade, é essencial conhecer a operação divisão. Essa operação faz parte do nosso dia a dia, como quando saímos com os amigos e dividimos a conta do restaurante, quando fazemos uma receita de brigadeiro e dividimos nas forminhas, dividimos o salário pela quantidade de dias trabalhados, entre outras aplicações.

Na matemática, a conta de divisão é a base para a resolução de vários problemas. Usamos, por exemplo, para calcular as médias, a fatoração e porcentagem. A fim de facilitar, existem alguns critérios em que podemos “cortar caminhos” para uma divisão mais rápida, considerando que o resto da divisão seja sempre igual a zero."

"Regras de divisibilidade

Divisibilidade por 2:

A divisibilidade por 2 é feita em qualquer número par, ou seja, quaisquer números terminados em 0, 2, 4, 6 ou 8 são, com certeza, números divisíveis por 2. Vamos aos exemplos:

64:2 = 32

32:2 = 16

16:2 = 8

8:2 = 4

4:2 = 2

2:2 = 1

12.490:2 = 6.245

Veja também: Números pares e ímpares

Divisibilidade por 3:

Segundo esse critério, para encontrarmos os números que são divisíveis por 3, basta somarmos os algarismos dos números e se o resultado for divisível por 3, certamente, o número é divisível por 3. Lembrando que, nesse caso, a tabuada do 3 deve estar na ponta da língua! Veja como é simples pelo exemplo:

O número 14.321, se separarmos os algarismos fazendo a sua soma: 1 + 4 + 3 + 2 + 1 = 11. Nesse caso 11 não é divisível por 3, portanto o número 14.321 não é divisível por 3.

Se analisarmos o número 1.233, a soma dos algarismos será 1 + 2 + 3 + 3 = 9. O número 9 é divisível por 3, então, 1.233 é sim divisível por 3 e resulta em 411.

Divisibilidade por 4:

Para saber se um número é divisível por 4, temos duas opções: a primeira delas é que todo número que termina em 00 com certeza é divisível por 4; e a segunda é quando o número formado pelos dois últimos algarismos for divisível por 4, esse número é também divisível por 4. Por exemplo:

1.200 é divisível por 4, pois termina em 00.

5.832 é divisível por 4, porque o final 32 é um número divisível por 4.

616 é divisível por 4, porque o final 16 é divisível por 4.

1.335 não é divisível por 4 pois não termina em 00 e o final 35 não é um número divisível por 4, o que faz a divisão não ter como resultado um número inteiro.

Divisibilidade por 5:

Qualquer número natural que tenha final 0 ou 5 é divisível por 5. É só pensar na tabuada do 5 e observar como cada número termina.

Por exemplo, os números 935, 140, 85 e 70 são todos divisíveis por 5, pois terminam em 0 ou 5. Já os números 357, 121, 92 e 551, por exemplo, não são divisíveis por 5, pois não terminam em 0 ou 5.

Divisibilidade por 6:

O critério para a divisibilidade por 6 são todos os números que são divisíveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Lembrando que os números que são divisíveis por 2 são todos os números pares, isso já exclui os números ímpares da divisibilidade por 6, e a soma os algarismos desses números precisam ser divisíveis por 3. Vamos analisar os seguintes exemplos:

1.324 é um número par (divisível por 2) e a soma dos algarismos 1 + 3 + 2 + 4 = 10, ou seja, não é divisível por 3, portanto 1.324 não é divisível por 6.

510 é um número par (divisível por 2) e a soma dos algarismos 5 + 1 + 0 = 6, ou seja, é divisível por 3, portanto 510 é um número divisível por 6.

15.420 é um número par (divisível por 2) e a soma dos algarismos 1 + 5 + 4 + 2 + 0 = 12, ou seja, é divisível por 3, portanto 15.420 é divisível por 6.

2.331 é ímpar, ou seja, não é divisível por 2 e apesar da soma dos algarismos 2 + 3 + 3 + 1 = 9 e ser divisível por 3, o número 2.331 não é divisível por 6.

Divisibilidade por 7:

Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 se o dobro do seu último algarismo subtraído do número sem o último algarismo, resulta em um número divisível por 7. Se a diferença ainda é grande, repetimos o processo até verificar a divisão por 7.

Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:

16592−1616576Número sem o último algarismoDobro de 8 (último algarismo)Diferença$$\overline{)\begin{array}{rl}16592& \text{Número sem o último algarismo}\\ -16& \text{Dobro de 8 (último algarismo)}\\ 16576& \text{Diferença}\end{array}}$$

Repete-se o processo com a diferença obtida no processo anterior.

1657−121645Diferença sem o último algarismoDobro de 6 (último algarismo)Diferença$$\overline{)\begin{array}{rl}1657& \text{Diferença sem o último algarismo}\\ -12& \text{Dobro de 6 (último algarismo)}\\ 1645& \text{Diferença}\end{array}}$$

Repete-se o processo com a diferença obtida no processo anterior.

164−10154Diferença sem o último algarismoDobro de 5 (último algarismo)Diferença$$\overline{)\begin{array}{rl}164& \text{Diferença sem o último algarismo}\\ -10& \text{Dobro de 5 (último algarismo)}\\ 154& \text{Diferença}\end{array}}$$

Repete-se o processo com a diferença obtida no processo anterior.

15−87Diferença sem o último algarismoDobro de 4 (último algarismo)Esta diferença é divisível por 7$$\overline{)\begin{array}{rl}15& \text{Diferença sem o último algarismo}\\ -8& \text{Dobro de 4 (último algarismo)}\\ 7& \text{Esta diferença é divisível por 7}\end{array}}$$

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.

Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:

426−2424Número sem o último algarismoDobro de 1 (último algarismo)Diferença$$\overline{)\begin{array}{rl}426& \text{Número sem o último algarismo}\\ -2& \text{Dobro de 1 (último algarismo)}\\ 424& \text{Diferença}\end{array}}$$

Repete-se o processo com a diferença obtida no processo anterior.

42−834Diferença sem o último algarismoDobro de 4 (último algarismo)Diferença$$\overline{)\begin{array}{rl}42& \text{Diferença sem o último algarismo}\\ -8& \text{Dobro de 4 (último algarismo)}\\ 34& \text{Diferença}\end{array}}$$

Como 34 não é divisível por 7, o número 4261 também não é divisível por 7.

Divisibilidade por 8:

Segundo esse critério, os números que são divisíveis por 8 são todos aquelas que possuem final 000 ou que os três últimos algarismos sejam divisíveis por 8 (bem parecido com o critério de divisibilidade por 4). Por exemplo:

Os números 12.000, 5.000 e 125.000 são todos divisíveis por 8, pois terminam em 000.

O número 1.345.880 também é divisível por 8, pois 880 dividido por 8 é 110.

O número 225.243.168 é divisível por 8, pois 168 dividido por 8 é 21.

O número 12.445 não é divisível por 8, pois 445 não tem um resultado exato quando é dividido por 8.

Divisibilidade por 9:

O critério de divisibilidade por 9 segue a mesma linha de raciocínio do critério de divisibilidade por 3, ou seja, vamos somar os algarismos e se o resultado por divisível por 9, o número será divisível por 9:

1.575 é divisível por 9, pois 1 + 5 + 7 + 5 = 18. Como 18 é divisível por 9 (9 x 2), então, o número 1.575 é divisível por 9.

525.951 é divisível por 9, pois 5 + 2 + 5 + 9 + 5 + 1 = 27. Como 18 é divisível por 9 (9 x 2), então, o número 1.575 é divisível por 9.

Divisibilidade por 10:

Um dos critérios mais simples de divisibilidade! Os números que são divisíveis por 10 terminam sempre com 0.